TRAVAUX DIRIGES : " ATOMES ET MOLECULES " - Cours de Thierry Briere

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Série 2 : SPECTRE DE l'HYDROGENE - Modèle de BOHR

Exercice 1 :

Le spectre de l'hydrogène peut se décomposer en plusieurs séries. On se limitera ici aux cinq premières nommées respectivement série de Lyman, Balmer, Paschent, Bracket et Pfund.

a) A quels phénomènes physiques correspondent ces raies ?

b) Quelle est l'expression générale donnant la longueur d'onde d'une raie ?

c) Les raies de chaque série sont encadrées par deux raies limites nommées llim pour la limite inférieure et l1 pour la limite supérieure. A quoi correspondent ces deux limites ?

d) Etablir une formule générale permettant le calcul de ces deux limites. Calculer l1 et llim pour les 4 premières séries.

 

Passage de l’infini à n :

1 / l1 = RH (1/n2 –1/p2) = RH / n2 => l1 = n2 / RH

Passage de n + 1 à n :

1 / l2 = RH (1/n2 –1/(n+1)2) = RH [ (n + 1)2 - n2] / [n2 (n+1)2] => l2 = n2 (n + 1)2 / [ ( 2n + 1 ) RH]

 

Série

l1 ( nm)

l2 (nm)

Lyman (n = 1)

91

122

Balmer ( n = 2 )

365

656

Paschen ( n = 3 )

820

1875

Pfund ( n = 4 )

1458

4051

Remarque :

Les séries sont de plus en plus étalées et on observe un chevauchement dès n = 4.

On finit donc pour n élevé par obtenir un spectre quasi continu.

Pour certains atomes émettant dans le visible, on pourra donc obtenir une lumière pratiquement blanche, d’où l’utilisation pour l’éclairage "au néon ".

Visible de 400 à 750 nm.

Représentation graphique.

 

Exercice 2 :

Dans l'atome d'hydrogène, l'énergie de l'électron dans son état fondamental est égale à -13,6 eV.

a) quelle est en eV, la plus petite quantité d'énergie qu'il doit absorber pour :

- passer au 1° état excité ?

- passer du premier état excité à l'état ionisé ?

b) Quelles sont les longueurs d'onde des raies du spectre d'émission correspondant au retour :

- de l'état ionisé au 1° état excité ?

- Du premier état excité à l'état fondamental ?

DEp,n = E0 (1/p2-1/n2) avec n > p

DE2,1 = E0 (1/12-1/22) = 3/4 E0 = 3/4 * 13,6 = 10,2 eV = 1,63 10-18 J

DE¥ ,2 = E0 (1/22-1/¥ 2) = 1/4 E0 = 1/4 * 13,6 = 3,4 eV = 5,4 10-19 J

DE = h n Û n = DE / h = C / l Û l = h C / DE

l ¥ ,2 = h C / DE¥ ,2 = 6,62 10-34 * 3 108 / 5,4 10-19 = 3,678 10-7 m

l ¥ ,2 = 367,8 nm

l 2,1 = h C / DE2,1 = 6,62 10-34 * 3 108 / 1,63 10-18 = 1,226 10-7 m

l 2,1 = = 122,6 nm

 

Exercice 3 :

Si l’électron de l’Hydrogène est excité au niveau n=4, combien de raies différentes peuvent-elles être émises lors du retour à l’état fondamental. Classer les transitions correspondantes par longueurs d'onde décroissantes du photon émis.

 

6 raies possibles :

Modèle de Bohr : En = - E0 / n2

Formule de Rydberg : 1/l = RH (1/n2 – 1/p2)

E n,p = -E0 / n2 + E0 / p2 = E0 (1/p2 - 1/n2)

E = h . n et n = C / l

E0 = h C RH = 6,62 10-34 * 3 108 * 1,097 107

E0 = 2,18 10-18 J ( 13,6 eV )

Raie - Transition

Energie (J )

Fréquence n

( 1015 Hz )

Longueur d’onde (nm)

Domaine spectral

Série

4 à 3

1,06 10-19

0,16

1874

I.R

Bracket

4 à 2

4,09 10-19

0,62

486

Visible

Balmer

4 à 1

2,04 10-18

3,09

97,2

U.V

Lyman

3 à 2

3,02 10-19

0,46

656

Visible

Balmer

3 à 1

1,93 10-18

2,93

102,5

U.V

Lyman

2 à 1

1,63 10-18

2,5

121,5

U.V

Lyman

Remarques :

- Une erreur fréquente consiste à penser que les niveaux sont équidistants, ce qui ramènerait le nombre de raies a trois seulement.

- on peut vérifier que la valeur obtenue pour l est du bon ordre de grandeur si on se rappelle que la série de Lyman (n=1) est dans l'Ultra-Violet, que la série de Balmer (n=2) est dans le visible et que toutes les autres séries sont dans l'Infra.Rouge.

 

 

 

 Exercice 4 :

a) Calculer l'énergie à fournir pour ioniser à partir de leur état fondamental les ions He+; Li2+et Be3+

b) Quelles sont les longueurs d'onde des raies limites de la série de Balmer pour He+ ?

Atomes hydrogénoïdes : En = - E0 * [ Z2 / n2 ]

He+ : Z = 2 Þ En = - E0 * [ 22 / n2 ] = - 4 E0 / n2 = - 54,4 / n2

E.I He+ = 54,4 eV

Li2+ : Z = 3 Þ En = - E0 * [ 32 / n2 ] = - 9 E0 / n2 = - 122,4 / n2

E.I Li2+ = 122,4 eV

Be3+ : Z = 4 Þ En = - E0 * [ 42 / n2 ] = - 16 E0 / n2 = - 217,6 / n2

E.I Be3+ = 217,6 eV

b) Balmer : retour à n = 2

DE3,2 = E3 - E2 = - 54,4 / 22 + 54,4 / 32 = 54,4 (1/4 - 1/9) = 7,556 eV = 1,21 10-8 J

l = h c / DE = 164,3 nm

DE¥ ,2 = E¥ - E2 = - 54,4 / 4 = 13,6 eV = 2,18 10-18 J

l = h c / DE = 91,3 nm

 Exercice 5 :

Pour passer du niveau d'énergie n=2 au niveau m=4, l'électron d'un atome d'hydrogène absorbe un photon de longueur d'onde l. Calculer l.

Formule de Rydberg : 1 / l = RH (1/n2 - 1/p2)

1 / l = 1,096 107 (1/22 - 1/42)

1 / l = 2055000

l = 4,86610-7 m = 486,6 nm

Cette raie fait partie de la série de Balmer, elle est bien dans le domaine du visible.

 

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