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Quatrième série de T.D

ATOMES ET MOLECULES - OBJETS QUANTIQUES

Quelques notions quantiques - Ondes de De Broglie -

Principe d’Heisenberg - Equation de Schröeninger

 

Exercice 1 :

1) Retrouver la forme de l'équation de Schröeninger :

F" + ( 8 p2 m / h2) ( E - V ) F = 0

En partant de l'équation d'une onde stationnaire dans un espace à une dimension de la forme :

f = A Sin ( 2 p x / l ) Cos ( 2 p n t )

Cette équation est obtenue en mécanique classique pour la vibration d'une corde entre deux bornes. En mécanique quantique elle correspond au cas simple d'un électron " dans une boite à une dimension " c'est à dire se déplaçant en ligne droite entre deux points. On dérivera deux fois la fonction d'onde par rapport à x puis on introduira la formule de De Broglie dans le cas de l'électron. On exprimera l en fonction de l'énergie cinétique de l'électron. On exprimera ensuite EC en fonction de ET et EP.

2) Chercher à partir de l'expression de la fonction d'onde les valeurs propres de l'énergie pour un électron se déplaçant en ligne droite entre deux points. Pour cela on introduira la condition de quantification correspondant au fait que la fonction d'onde s'annule pour les deux bornes. On exprimera cette condition par analogie avec une corde vibrante. On supposera pour simplifier le problème que l'électron est dans un puis de potentiel, c'est à dire que le potentiel est nul à l'intérieur de la "boite à une dimension" et infini à l'extérieur.

3) Sur un schéma on représentera les valeurs propres de l'énergie en fonction du nombre quantique principal ainsi que l'allure de variation de la fonction d'onde correspondante pour les trois premières valeurs de n. Enfin on représentera la variation du carré de la fonction d'onde. A quoi correspond cette dernière ?

On précisera le signe de la fonction d'onde, le nombre de lobes et le nombre de noeuds.

 CORRIGE

 

Exercice 2 :

Calculer les longueurs d'onde associées aux systèmes matériels suivants :

a) balle de revolver de 2 g lancée à 300 m/s

b) voiture de 2 t à 100 km/h

c) électron se déplaçant à 3 104 m/s

CORRIGE

 

Exercice 3 :

Exprimer le caractère ondulatoire d'un électron sur une orbite de Bohr et retrouver la condition de quantification du moment cinétique.

 

CORRIGE

 

Exercice 4 :

a) Si l'on suppose que le rayon de l'orbite de Bohr a0 = 0,529 A° est connu à 1% près, calculer DV incertitude sur la vitesse de l'électron de masse 9,1 10-31Kg. Conclusion ?

b) Si l'on suppose que la position d'une bille de masse 1 g est connue au mm près, quelle est l'incertitude sur sa vitesse ? Conclusion ?

c) Un automobiliste féru de mécanique quantique à été pris par un radar à 120 Km/h au volant de sa voiture de 1500 Kg. Il invoque le principe d'incertitude d'Heisenberg pour contester le P.V. A-t-il raison ?

 

 CORRIGE

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